בנם של רחל ויצחק. נולד בשנת תרצ"ט (1939) בבורפל שבטורקיה, בגבול סוריה. אח לחיים, עליזה, ישראלה, אלי ושמחה.
אברהם גדל והתחנך בבורפל, ובנעוריו עלה ארצה עם משפחתו. את ביתם קבעו בראשון לציון, והוא נשלח לחיות וללמוד בקיבוץ בארי שבמערב הנגב.
בגיל שמונה-עשרה התגייס לצה"ל. עבר טירונות והחל לשרת בדרום.
במהלך שירותו נפגע בעיניו ובעקבות זאת הוכר כנכה צה"ל.
עם שחרורו מצה"ל החל לעבוד בעיקר בתקופת החורף בבית אריזה לתפוזים הממוקם באזור המחסנים של חברת "תנובה" ברחובות. בקיץ עבד בעבודות מזדמנות. בהמשך רכש רכב הסעות בסיוע משרד הביטחון ועבד כנהג. בזמנו הפנוי עסק בפיתוח הגוף והיה שרירן.
בשנת 1962 נשא אישה, ולשניים נולדה הבת רחל (קוקה). בשנת 1966 נפטרה רעייתו. קוקה הייתה בת שנתיים בלבד, ואימו ואחת מאחיותיו סייעו לו בגידולה ובטיפול בה.
כעבור כשנה, ב-1967, הכירו לו שכניו את נסורת, אף היא אלמנה, ובאותה השנה נישאו. יחד גידלו את רחל ואת שני ילדיה של רעייתו – אריאל ורחל, שאליהם התייחס כאילו היו ילדיו. בחלוף הזמן נולדו להם שני בנים משותפים – איציק ואלון. ילדיו ורעייתו היו בבת עינו ומושא דאגתו, והם ראו בו אב ובן זוג למופת.
אברהם שמר על קשר טוב ומכבד עם הוריו, אחיו ואחיותיו ועם הוריה של נסורת. גם גיסיו אהבו אותו מאוד. בשירות הצבאי זכה להכיר חברים טובים, שליוו אותו לאורך כל חייו.
לאחר שעזב את עבודתו כנהג הסעות, החל לעבוד ככרטיסן בקולנוע בתחנה המרכזית בתל אביב. באחת המשמרות התעורר חשדו בנוגע לאדם שהגיע לקולנוע. לאחר שהתריע על כך למשטרה, התברר שאכן הצליח למנוע פיגוע. למוחרת לקה בהתקף לב, עבר ניתוח לב פתוח והתאשפז למשך זמן רב בבית חולים.
הסבל הרב מבעיות הלב התווסף לקושי היומיומי בעקבות פציעתו בשירות הצבאי ולניתוחים הרבים שעבר בעיניו. אף על פי כן המשיך בשגרת חייו: לאחר השיקום עבד בחצי משרה בקולנוע, ואחר כך עבד בשמירה בכמה מוסדות בראשון לציון.
לאורך חייו נהנה מאוד להזמין חברים אליו הביתה ולשחק עימם בקלפים – היה זה תחביבו הגדול. לאחר שפרש לגמלאות המשיך בכך באדיקות במועדון יום לקשישים.
אוכל טוב היה אהוב עליו, ולכן כל אימת שהתוודע למסעדה שהופיעה בטלוויזיה, ביקש מאיציק בנו לקחת אותו אליה. כך, הם סעדו יחד במגוון מסעדות ברחבי הארץ.
אברהם, אדם אהוב ונוח לבריות, התאפיין ביושר, בנתינה גדולה ובטוב לב. ערכים של משפחתיות, כיבוד אב ואם וכבוד האדם באשר הוא אדם היו נר לרגליו. בורך בחוש הומור מפותח וידע להצחיק את סובביו. כך למשל נתן כינויים מצחיקים לאנשים מסוימים. בדיבורו שיבץ פתגמים בעברית, וגם ערבית הייתה שגורה בפיו, ומעט טורקית, שאותן ספג מבית הוריו.
אברהם אזולאי נפטר ביום ט"ז בתמוז תשס"ז (2.7.2007). בן שישים ושמונה בפטירתו. הובא למנוחות בבית העלמין הישן בראשון לציון. הותיר אישה, ילדים ונכדים, אחים ואחיות.
על מצבתו חקקו אוהביו: "אשרי האיש אשר לא הלך בעצת רשעים" (תהילים א, א) וכן "ננצור זכרך בלבנו לעד".